lunes, 7 de enero de 2019

Cuentos que se cuentan con el cuerpo: etnomatemáticas.



"La belleza de las matemáticas sólo se muestra a los seguidores más pacientes" Maryam Mirzakhani.

"Contar/numerar y contar/narrar no son sino dos caras de una misma actividad, que las cuentas no salen si no se conocen las lenguas y costumbres en que se cuentan." Emmanuel lizcano, Licenciado en Ciencias Exactas y doctor en Filosofía de la Ciencia.
 
Los números son la mayor experiencia compartida de la humanidad. La numeración es un fósil de la talla prehistórica de “muescas”, y los números actuales tienen su origen en los indios desde hace 15 siglos.

El sistema de números parece el mismo en todas partes: un único sistema que permita representar cualquier cantidad que queramos, un lenguaje de símbolos universal. No es tan así.

El sistema yoruba (grupo etnolingüístico del oeste africano, especialmente en Nigeria), es un sistema vigesimal, pero, a diferencia de la mayoría de los sistemas vigesimales (vasco, francés, danés...), se construye sobre la resta y sobre la suma. Sus números arrancan de una unidad colectiva que, mediante diferentes sufijos, se contrae o se expande para obtener las particulares cantidades concretas. 
Esto es así: del 1 al 10 se utiliza un término distinto para cada cifra, uno es "okan", diez es "eewa". Del 11 al 14, se forman añadiendo la terminación -laa a los términos del 1 a 4, once es "ookanla" (uno más de diez) hasta catorce "eerinla" (cuatro más de diez). Es en el 15 donde aparece la resta para formar los términos. "Aarundinlogun" es quince, cuyo significado literal es 20 - 5. Y así dieciseis es 20 - 4, diecisiete 20 - 3, dieciocho 20 - 2 y diecinueve ("ookandinlogun") 20 - 1... Veinte se dice "oogun". A partir del 21 se usa de nuevo la suma, "okanlelogun" (uno mas de veinte), que vuelve a cambiar a sustractiva en el 25. Cuarenta se dice "dos veinte": "ogoji", y así sucesivamente hasta 200 "igba", "diez años veinte". El patrón se aplica sucesiva y cíclicamente.

Pero hay algo más.

"Para quienes hablan yoruba (unos 30 millones de personas), la unidad usada para contar no es ese ‘uno’ indivisible que se corresponde con el individuo que cuentan los censos a partir de Napoleón" explica Emmanuel Lizcano. "La unidad aritmética se corresponde más bien con la unidad social, la cual, en un régimen comunal como el suyo, es una unidad colectiva. Los números yoruba no son adjetivos o adjetivos sustantivizados, como los nuestros (hijos del sustancialismo griego), sino verbos. Verbos cuya actividad proyecta lo comunitario sobre los objetos a contar". 

Y es que en realidad "okan", (uno) se traduce mejor como "modo uno", y "eji" (dos) como "modo dos", aluden a una forma o disposición particular, el verbo que define el modo cómo están agrupados.
Por lo tanto, se puede decir en yoruba "ó fún mi ni òkúta mérin", que se traduce convencionalmente como "me dio cuatro piedras", pero una traducción más literal es "él me dio el concepto de piedra en el modo de un grupo en el modo de cuatro". De manera similar, podemos tener "ó rí afá méta´" que significa "vio tres perros", lo que se traduce literalmente como "vio el concepto de perro en el modo de un grupo en el modo de tres. El número "okan" (uno) se convierte en una frase en "kan", que se puede usar de la siguiente manera: "eja kan kò tó", un pez no es suficiente, literalmente, "el concepto pez en el modo de uno, no alcanza". Alude más a multiplicidades (modos, montones, grupos) que a unidades. Lizcano lo explica así:

"Su sistema numeral (...) comienza con agregados, en los que sólo después, por un proceso de desagregación o sustracción, se van produciendo fracturas (...). Nada que ver, pues, con el proceso conjuntista-identitario de construcción de la serie numérica de los números naturales: 1, 1+1, 1+1+1,... Los que, desde pequeños, hemos llamado ‘números naturales’ son tan poco naturales como el individuo, el mercado o la evidente salida del sol cada mañana. Es decir, su naturalidad es el refinado producto de una construcción social muy determinada".

La característica distintiva más obvia de nuestro sistema de recuento es su utilización de base decimal. Contamos por decenas, de modo que tenemos palabras distintas hasta el número diez, y luego componemos diez-uno (que llamamos "once"), diez-dos (doce), diez-tres(trece)... Muchas culturas eligieron esta esta misma base y está claro que su fuente debe encontrarse muy cercana a nuestros diez dedos, los primeros contadores. Los dígitos (cifras, números) son los dedos, en latín.
En el idioma vasco, euskera, utilizan el once como sinónimo de "mucho" y dicen "hamaika ikusteko jaioak gara!", "lo que hay que ver!" (lit. hemos nacido para ver once/mucho)
A veces, como en el caso yoruba, nos encontramos con  usos de veinte como base (dedos de las manos más dedos de los pies, dicen). Entre los indios de América encontramos un sistema de recuento con una base 8, pero también contaban con los dedos: lo que sucede es que ellos contaban los ocho espacios entre los dedos en lugar de los diez dedos.


Existen culturas de numeración que se basan enteramente en la anatomía humana. Uno de los ejemplos más elaborados era el practicado por los habitantes de las islas del Estrecho de Torres en una época tan reciente como el siglo XIX. Empezando por el lado derecho de su cuerpo, ellos tocaban primero sus cinco dedos para los números 1 a 5, luego la muñeca (6), el codo (7), el hombro (8), el pecho (9), hombro izquierdo (10), codo izquierdo (11), y así sucesivamente hasta llegar a los dedos de la mano izquierda , que les llevaban hasta (17), luego continuaban con el dedo pequeño del pie izquierdo (18) hasta el dedo gordo del pie izquierdo, que les llevaba a 22, el tobillo izquierdo (23), la rodilla izquierda (24), la cadera izquierda (25 ), la cadera derecha (26) y luego bajaban por el lado derecho de la misma forma acabando con el dedo pequeño del pie derecho (33). "Uno se imagina que las lecciones de matemáticas podrían haberse parecido a un baile de San Vito" escribe el matemático John D. Barrow.

Y añade que muchos otros isleños del Pacifico muestran estrategias similares,
por ejemplo los dedos de las manos, los ojos, la nariz, las orejas y la boca como puntos anatómicos de referencia. "En consecuencia, cabe esperar que las asociaciones anatómicas precedieron al desarrollo de los términos numerales". Existen muchos hermosos ejemplos de términos numerales en culturas primitivas que tienen significados anatómicos muy claros. Una estructura típica es la que muestran los indios zuñi, que tienen dos radicales para uno y dos solamente, y los términos numerales siguientes se crearon a partir de ellos utilizando diferentes exhibiciones de dedos. Concluyen con un conjunto de términos numerales cuyos significados son fáciles de visualizar para nosotros:

1- töp-in-te = tomado para empezar
2- kwil-li = levantado con el anterior
3- ha'-i = dedo de división
4- a-wi-te = todos los dedos levantados excepto uno
5- öp-te = cruzado
6- to-pa-lï-k 'ya = uno más añadido
7- kwil-li-lï-k 'ya = dos añadidos y estirados con los demás
8- ha-i-lï-k 'ya = todos estirados con los demás excepto dos
9- ten-a-lï-k 'ya = todos estirados con los demás excepto uno
10- äs-tem- 'thla = todos los dedos
11- äs-tem- 'thla-to-pa-yä'thi-to-na = todos los dedos y uno más estirados.


Este esquema continúa de modo similar hasta 20, para el que la palabra empleada significa "dos veces todos los dedos"." Una característica significativa de este método de contar es el hecho de que le capacita a uno recordar la cuenta simplemente recordando la última parte del cuerpo a que se hizo referencia.

Las técnica de contar con los dedos son diferentes de una cultura a otra. Actualmente, los niños británicos contarían con los dedos abriendo sus dedos uno a uno a partir de un puño cerrado, empezando con el pulgar y terminando con el meñique. Sin embargo, en regiones cómo Australia, América, Asia y África, la cuenta con los dedos comienza con el dedo meñique izquierdo. En otras partes empiezan habitualmente con el dedo meñique derecho, mientras que en regiones de África central y en el interior de América del Sur se encuentra un procedimiento en el que se utiliza el dedo índice derecho para empezar a contar. Los japoneses empiezan con una mano abierta y luego cierran los dedos de uno en uno. Existen tribus de indios norteamericanos como los dene-dinje, cuyos términos numerales describen precisamente esta secuencia de cierre de dedos. Los significados de sus palabras para los números de 1 a 5 son:

1- el extremo está doblado (es decir, el meñique está doblado por la mitad)
2- está doblado una vez más (ahora, está doblado el anular)
3- el medio está doblado (ahora, está doblado el dedo medio)
4- solo queda uno (ahora, se dobla el dedo índice y solo queda el pulgar)
5- mi mano se ha acabado.

A pesar de nuestra impresión de que contar es la más elemental de las intuiciones que asimilamos sin esfuerzo sólo por el hecho de estar en el mundo, existen muchos grupos humanos que están alejados de esta abstracción.

Algunas tribus aborígenes australianas solo poseen palabras para cantidades "uno" y "dos". Cualquier cantidad mayor se expresa mediante una palabra con el sentido de "muchos". Algunas tribus de Suráfrica muestran una estructura lingüística similar para los numerales. De hecho, existen vestigios remanentes de esto incluso en las modernas lenguas indoeuropeas, donde encontramos que la raíz original para "tres" tiene el significado de algo parecido a "sobre", "más allá", o "lejos", indicando que el primitivo sentido era simplemente el de algo más que las palabras concretas para uno y dos. En latín, existe esta afinidad entre "trans" que significa "más allá" y tres que significa "tres"; la misma relación es manifiesta en francés donde encontramos "trés" para "muy" y "trois" para el número tres.

Algunas lenguas, como por ejemplo el árabe, también conservan un triple tratamiento de la cantidad con diferencias entre singular, dual (para dos sólo), y plural (para más de dos). Algunas tribus de Oceanía incluso empezaron a conjugar y declinar palabras en el singular, el dual, trial, cuatrial, y finalmente en un plural para todas las cantidades mayores. Los primeros estudios antropológicos de los bosquímanos de Kalahari en la primera mitad de este siglo, encontraron que existían palabras para cantidades hasta cinco, pero no más allá, y aquellos a quienes se preguntaba eran incapaces de describir cantidades mayores que cinco. En Nueva Guinea, algunas partes de Sudamérica y África, aunque no existen palabras para números mayores que dos, los números más grandes pueden ser expresados por yuxtaposición como "dos-uno", "dos-dos", "dos-dos-uno". Los aborígenes aranda de Australia utilizan "ninta" para uno y "tara" para dos, y tres se expresa como "tara-ma-ninta" (es decir, "dos-y-uno") y cuatro por "tara-matara" (dos-y-dos). Cualquier cantidad mayor se expresa como muchos. Los indios botocoudo de Brasil tienen palabras hasta cuatro, y luego tienen una palabra que significa "una gran cantidad" y apuntan a sus cabellos cuando dicen esta palabra, tan innumerable como los pelos de su cabeza.
Este método de numeración se denomina el "sistema-2". Éstas culturas que cuentan solo hasta un número pequeño como dos, tres, o cinco realmente no están contando, son adjetivos que describen ciertos estados de cosas. No tienen un modo sistemático de describir un conjunto creciente de cantidades, porque no ven una relación secuencial entre las cantidades. Solamente describen cantidades utilizando numerales, pero no cuentan, ya que ésto último implicaría el reconocimiento de una relación entre cantidades diferentes.
Un ejemplo esclarecedor es el de los damaras en África del Sur, que está tomado del informe que hizo Francis Galton a finales de siglo de sus primeros contactos con estos pueblos:
"Sea lo que sea que tienen en su lenguaje, en la práctica ciertamente no utilizan un número mayor que tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a los dedos (...). Se desconciertan al llegar a cinco (...). Pese a todo, raramente pierden bueyes; si descubren la pérdida de uno, no es porque haya disminuido el número de reses del rebaño, sino por la ausencia de una cara que conocen. Cuando se hace una transacción, cada oveja debe ser pagada por separado."

Existía una técnica de recuento utilizada por los pastores: podían comprobar que tenían el mismo número de ovejas que se llevaron por la mañana si habían apartado una piedra por cada oveja. (De hecho, calcular es contar con "calculi", guijarros). Al volver por la tarde, podían restituir una piedra por cada oveja que volviera a salvo al redil. De este modo, podía llevarse la cuenta de un gran rebaño sin disponer de ninguna forma de numeración sistemática. En la actualidad algunos antropólogos han observado que en algunas comunidades, los autóctonos son capaces de calcular a simple vista, con un error mínimo, el número de piedras u otros objetos de pequeño tamaño; mientras el investigador, cuando intenta hacer lo mismo, obtiene un error marcadamente más significativo.

Existen muchas lenguas donde encontramos una diversidad de palabras para, por ejemplo, cinco
objetos planos, otra para cinco objetos redondos, otra para cinco objetos alargados, otra para cinco personas y otra para cinco canoas, como describe Franz Boas de las tribus indias de la Columbia británica, Canadá, y su lengua llamada tsimshian.

La numeración no es sino una actividad de una sociedad, depende de las necesidades y circunstancias de sus artífices, no de la fuerza de su imaginación o de su inteligencia.
En estas culturas, no había un sentido abstracto del número, porque no era necesario para su supervivencia. Los matemáticos han abstraído los procesos matemáticos de los ejemplos particulares o específicos, y estudian el concepto de número en abstracto, que lo independiza de las cosas materiales concretas contadas. Una vez que una noción abstracta de un número está presente en la mente, en la colección de relaciones que existen entre ellos, entonces hemos entrado en un nuevo mundo.

Fuentes:
"La trama oculta del universo" John D. Barrow.
"El libro de la nada" John D. Barrow.
Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics" Helaine Selin.
https://www.revistadelibros.com/articulo_imprimible.php?art=1197&t=articulos
 http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/alarcon56.pdf
https://culturacientifica.com/2018/11/28/y-tu-como-cuentas-con-los-dedos-1/?fbclid=IwAR0Wsd1zNzy5Gd81WzUCUc3IAsjnYbVNwHLTmxDcPVP7G0_WbDJ82Kaybvw
http://www.geocities.ws/jj_juanjolopez/filesHTM/HistoriaUnivNumeros.html